几何表示中的等变与不变

三维分子表示必须注意物理对称性，同一个分子无论放在坐标系的哪里、朝向哪里，它仍然是同一个分子。

设一个分子的三维坐标矩阵为：

$$R=\left[\begin{array}{c}{r}_1^T\\ r_2^T\\ ⋮\\ r_N^T\end{array}\right]\in {\mathbb{R}}^{N\times 3}$$

其中 $r_i\in {\mathbb{R}}^3$ 表示第 $i$ 个原子的坐标。

如果整体平移：

$$r_i^{\prime }=r_i+t$$

其中 $t\in {\mathbb{R}}^3$ 是平移向量。

如果整体旋转或反射：

$$r_i^{\prime }=Q{r}_i$$

其中：

$$Q^{T}Q=I$$

$Q$ 是正交矩阵。它可以表示旋转，也可以表示反射。

更一般地，一个欧氏变换可以写成：

$$r_i^{\prime }=Q{r}_i+t$$

对整个坐标矩阵，可以写成：

$$R^{\prime }=R{Q}^T+\mathbf{1}{t}^T$$

其中 $\mathbf{1}\in {\mathbb{R}}^N$ 是全 1 向量。

不变性

如果模型预测的是分子整体标量性质，那么输出应该不随坐标系变化而变化。例如：

预测目标	类型
分子能量	标量
水溶性	标量
毒性类别	标量或类别
HOMO-LUMO gap	标量
结合自由能	标量

设模型为 $f$，输入为节点特征 $X$、边关系 $E$ 和坐标 $R$，则不变性要求：

$$f(X,E,R^{\prime })=f(X,E,R)$$

也就是：

$$f(X,E,R{Q}^T+\mathbf{1}{t}^T)=f(X,E,R)$$

这叫 invariance，不变性。

简单理解为分子整体移动或旋转后，模型预测的分子性质不应该改变。

等变性

如果模型预测的是坐标、位移、速度、力等几何向量，输出就不能简单保持不变，而应该随着输入坐标一起变换。例如：

预测目标	类型	变换方式
原子新坐标	向量	随平移和旋转一起变化
原子位移	向量	随旋转变化，不随平移变化
原子速度	向量	随旋转变化，不随平移变化
原子受力	向量	随旋转变化，不随平移变化

如果模型输出新坐标：

$$\hat{R}=F(X,E,R)$$

则等变性要求：

$$F(X,E,R^{\prime })=F(X,E,R{Q}^T+\mathbf{1}{t}^T)=F(X,E,R)Q^T+\mathbf{1}{t}^T$$

如果模型输出力或速度这类向量场：

$$\hat{Y}=F(X,E,R)$$

由于力和速度不受坐标原点平移影响，只随旋转或反射改变方向，因此要求：

$$F(X,E,R{Q}^T+\mathbf{1}{t}^T)=F(X,E,R)Q^T$$

这叫 equivariance，等变性。

简单理解为如果把分子旋转一下，那么预测出来的力也应该跟着旋转同样的角度。

不变性与等变性的区别

性质	数学形式	直观含义	常见输出
不变性	$f(gx)=f(x)$	输入变了，输出不变	能量、分类标签
等变性	$F(gx)=gF(x)$	输入怎么变，输出也怎么变	坐标、速度、力

其中 $g$ 表示某种变换，例如平移、旋转或反射。

距离为什么是不变量

许多三维分子模型会使用原子间距离：

$$d_{ij}=\parallel r_i-r_j{\parallel }_2$$

对坐标做欧氏变换：

$$r_i^{\prime }=Q{r}_i+t,r_j^{\prime }=Q{r}_j+t$$

则变换后的距离为：

$$\begin{array}{rl}{d}_{ij}^{\prime }& =\parallel r_i^{\prime }-r_j^{\prime }{\parallel }_2\\ & =\parallel (Q{r}_i+t)-(Q{r}_j+t){\parallel }_2\\ & =\parallel Q(r_i-r_j){\parallel }_2\end{array}$$

由于 $Q^{T}Q=I$：

$$\begin{array}{rl}\parallel Q(r_i-r_j){\parallel }_2^2& =(r_i-r_j{)}^T{Q}^{T}Q(r_i-r_j)\\ & =(r_i-r_j{)}^T(r_i-r_j)\\ & =\parallel r_i-r_j{\parallel }_2^2\end{array}$$

所以：

$$d_{ij}^{\prime }=d_{ij}$$

这说明距离对平移、旋转和反射都不变。

键角为什么是不变量

键角由两个相对向量决定：

$$u=r_i-r_j,v=r_k-r_j$$

键角为：

$$\theta =\arccos \left(\frac{u^{T}v}{\parallel u\parallel \parallel v\parallel }\right)$$

变换后：

$$u^{\prime }=Qu,v^{\prime }=Qv$$

内积变为：

$${u^{\prime }}^T{v}^{\prime }=(Qu{)}^T(Qv)=u^T{Q}^{T}Qv=u^{T}v$$

长度也保持不变：

$$\parallel u^{\prime }\parallel =\parallel u\parallel ,\parallel v^{\prime }\parallel =\parallel v\parallel$$

因此键角 $\theta$ 不变。

分子模型中的设计原则

根据输出目标不同，模型结构应该满足不同的对称性：

任务	输出	模型应满足
分子性质预测	标量	平移、旋转、反射不变
构象生成	坐标	平移、旋转、反射等变
分子动力学	力或速度	旋转、反射等变，平移不变
蛋白-配体打分	标量	整体刚体变换不变

如果模型直接把绝对坐标 $r_i=(x_i,y_i,z_i)$ 当作普通特征输入 MLP，模型可能会学到依赖坐标轴方向的规律。例如同一个分子旋转后，预测结果改变。这通常是不合理的。

更合理的做法是使用几何不变量或等变结构：

设计方式	代表模型	特点
使用距离	SchNet	输出标量天然更容易不变
使用距离和角度	DimeNet	能表达更丰富的局部几何
使用相对坐标更新	EGNN	坐标更新保持等变
使用张量表示	Tensor Field Network、SE(3)-Transformer	表达能力强，但结构更复杂

以 EGNN 为例，它的消息函数使用距离平方：

$$m_{ij}={\varphi }_e(h_i,h_j,\parallel r_i-r_j{\parallel }^2,e_{ij})$$

其中 $\parallel r_i-r_j{\parallel }^2$ 是不变量。

坐标更新使用相对坐标方向：

$$r_i^{+}=r_i+\sum _{j\in \mathcal{N}(i)}(r_i-r_j){\varphi }_x(m_{ij})$$

其中 $(r_i-r_j)$ 会随旋转一起旋转，而 ${\varphi }_x(m_{ij})$ 是标量。因此整个坐标更新能够保持等变性。

小结

性质	含义
平移不变性	分子整体移动后预测不变
旋转不变性	分子整体旋转后预测不变
反射不变性	分子镜像反射后，某些标量预测不变
等变性	坐标、速度、力等向量输出随输入一起变换

在三维分子建模中，对称性不是额外装饰，而是模型是否符合物理规律的重要约束。EGNN、SchNet、DimeNet 等模型就是为了更好地处理这些几何对称性。