GNN

GCN

$h_{u}^{(t)}$ ：节点u在第t层的特征表示。

$N (v)$ ：节点v的一阶邻居集合（不包含自身）。

${\hat{d}}_{u}, {\hat{d}}_{v}$ ：节点 $u, v$ 的度（包含自环，即节点自身与自身的连接）。

$W^{(t)}$ ：第t层的可学习权重矩阵。 $σ$ ：非线性激活函数（如 ReLU）。

在第 $t + 1$ 层，邻居节点 $u$ 的特征 $h_{u}^{(t)}$ 作为消息传入中心节点 $v$ ：

m_{u, v}^{(t + 1)} = h_{u}^{(t)}

所有邻居的归一化消息求和，再加上中心节点v自身在第t层的特征 $h_{v}^{(t)}$

m_{v}^{(t + 1)} = \sum_{u \in N (v)} \frac{1}{\sqrt{{\hat{d}}_{u} {\hat{d}}_{v}}} m_{u, v}^{(t + 1)} + h_{v}^{(t)}

将节点总消息传入MLP并进行非线性激活，更新节点得到 $h_{v}^{(t + 1)}$

h_{v}^{(t + 1)} = σ (W^{(t)} m_{v}^{(t + 1)})

为了简化表达，我们将 “自环”（节点自身与自身的连接）纳入邻居集合 $N (v) \cup {v}$ ，此时聚合过程可直接包含自身特征，无需额外加 $h_{v}^{(t)}$ 。代入消息生成公式 $m_{u v}^{(t + 1)} = h_{u}^{(t)}$ 到聚合和更新步骤中：

\begin{aligned} h_{v}^{(t + 1)} & = σ (W^{(t)} (\sum_{u \in N (v) \cup {v}} \frac{1}{\sqrt{{\hat{d}}_{u} {\hat{d}}_{v}}} h_{u}^{(t)})) \\ = σ (\sum_{u \in N (v) \cup {v}} \frac{1}{\sqrt{{\hat{d}}_{u} {\hat{d}}_{v}}} W^{(t)} h_{u}^{(t)}) \end{aligned}

这就是最终的紧凑形式：

h_{v}^{(t + 1)} = σ (\sum_{u \in N (v) \cup {v}} \frac{1}{\sqrt{{\hat{d}}_{u} {\hat{d}}_{v}}} W^{(t)} h_{u}^{(t)})

聚合函数公式：

m_{v}^{(t + 1)} = Agg (m_{u v}^{(t + 1)} : u \in N (v))

节点更新

h_{v}^{(t + 1)} = σ (W^{(t)} [h_{v}^{t} | | m_{v}^{(t + 1)}])

公式：

m_{v}^{(t + 1)} = \sum_{(u, v) \in E} h_{u}^{(t)}

含义：中心节点v收集所有以自身为终点的边 $(u, v)$ 对应的消息（即所有邻居u的旧特征），并对这些消息进行求和聚合。逻辑：将所有邻居的特征 “加总”，得到邻居信息的整体表示 $m_{v}^{(t + 1)}$ 。

节点更新（Update）公式：

h_{v}^{(t + 1)} = MLP ((1 + ϵ^{(t + 1)}) h_{v}^{(t)} + m_{v}^{(t + 1)})

公式：

e_{u v} = a^{T} LeakyReLU (W h_{u} + W h_{v})

对节点 $u$ 和 $v$ 的特征分别应用线性变换 $W$ ，得到 $W h_{u}$ 和 $W h_{v}$ （目的是将特征映射到共享空间，便于计算相似度）。

将两者相加（ $W h_{u} + W h_{v}$ ），再通过 $LeakyReLU$ 激活，引入非线性。

与注意力向量 $a$ 做内积（ $a^{T} \cdot (\dots)$ ），得到节点对 $(u, v)$ 的原始注意力分数 $e_{u v}$ 。

公式：

α_{u v} = \frac{\exp (e_{u v})}{\sum_{k \in N (v)} \exp (e_{v k})}

公式：

m_{u v}^{(t + 1)} = α_{u v} h_{u}^{(t)}

公式：

m_{v}^{(t + 1)} = \sum_{u \in N (v)} m_{u v}^{(t + 1)}

公式：

h_{v}^{(t + 1)} = σ (W^{(t)} m_{v}^{(t + 1)})