CVAE 条件变分自编码器

之前的VAE模型虽然具备了一定的生成能力，但是我们还没有实现输入给定信息生成内容的功能，而这需要条件变分自编码器。

CVAE的架构

CVAE与VAE的运算过程几乎一致，唯一的区别是在编码器输入中拼接上了one-hat标签。

one-hat标签

one-hat标签又称为独热标签，是一种把分类标量转化为二进制向量的方法，在数字分类问题中可以把0～1数字转为如下标签向量：

0 = [1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
1 = [0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
2 = [0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
3 = [0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0]
......

图像一维化与拼合

对于单通道$28\times 28$图像，将其一维化为784大小的一维向量，随后将其和one-hat标签进行拼接，得到794的一维向量。

权重共享

为了加快模型训练速度，可以将多个批次的一维化向量组合，得到二维矩阵，这样可以同时进行多个数据训练，其中的batch_size作为超参数由初始化时定义，具体需要考虑计算资源。

若该例子中假设选定批次为$n$，则拼接得到的$[n,794]$输入矩阵的全连接层将通过$Z=XW+b$来计算，这里的$W$是权重矩阵，$b$是偏置矩阵，$X=[x_1,x_2,\cdots ,x_n],x_i=[794]$的每一行数据都将用同一个权重矩阵$W$训练，这样可以减少训练量，避免过拟合。

偏置$b$是一个一维向量$[z]$，$XW$是$[n,794]$矩阵，二者不能进行计算，因此会经过PyTorch的广播机制扩展复制n份得到$[n,z]$矩阵。

超参数

在CVAE模型中，有两个超参数：

1. batch_size：数据集同时训练的批次数，如果该值为1，则为简单训练。同时训练n个批次将得到$[n,794]$的输入矩阵。
2. z：编码器输出的隐空间维数。

编码

和VAE模型一样，输入矩阵进行计算后得到$[n,z]$大小的均值矩阵和方差矩阵，$n$是批次数，$z$是隐空间维数。

CVAE得到均值和方差后，从标准正态分布中采样得到随机变量，经过重参数化，得到隐空间采样值$z=\mu +\sigma \odot e$，此时$z$是一个$[n,z]$矩阵，具体过程如下图所示：

解码

得到采样后的$[n,z]$矩阵再次与one-hat矩阵拼接，这里是$[n,10]$矩阵，拼接得到$[n,z+10]$矩阵，该矩阵将作为解码器网络的输入，经过前向计算后最终的解码器将输出$[n,784]$的矩阵，其中每一行将代表一个一维化的图像结果，将它展开得到$28\times 28$的图像。

上述解码器的架构流程如下：

损失函数

CVAE和VAE的损失函数计算公式完全一致，都是由重构损失+KL散度损失两部分组成，与VAE不同的时，CVAE在编码过程中就学习到了图像+标签到隐空间的映射，解码器学到了隐空间采样+标签到图像的映射。

经过数据集训练后，模型的解码器具备了采样+标签将生成与标签对应的图像的能力，也就是给定条件生成内容的能力。

CVAE 的损失函数在优化时，因为编码器和解码器都引入了标签信息，所以重构损失会隐性地受到标签的约束，生成的图像不仅要和原图像素匹配，还要符合标签对应的类别，这是 CVAE “条件生成” 能力的核心来源。

关于损失函数的具体计算，可以参见VAE部分。