对焦、焦距与景深

对焦是在让像落到传感器上；变焦是在改变镜头的焦距。 两者都可能改变画面大小，但它们改变的物理量不同。

下面用一个固定传感器、单片凸透镜的模型来观察。真实镜头包含多组镜片，这个模型用于理解基本原理。

交互实验

读图与操作

• 自动合焦：只移动镜片，让当前物体清晰成像；超出镜片行程时显示提示。
• 变焦后自动合焦：启用后，改变焦距会联动移动镜片；关闭时各参数独立调节。
• 像在传感器前／后：载入对应示例。重置恢复初始清晰状态。
• 左图是当前传感器上的投影；右图是在实际成像面放置同尺寸画幅的理想合焦参考，不代表当前传感器画面。
• ** 1×／16×／32× **仅改变两幅预览的显示倍率。整幅视图用于看取景，局部放大用于检查失焦。
• 光路中，蓝色与粉色分别对应物体上下两点；橙色虚线表示物方合焦位置，紫色虚线表示实际成像平面。
• 景深卡片中的边界距离从固定传感器量起，与物体位置 $L$ 一致；参数区标明“到透镜”的数值则采用透镜坐标。

光路图对物方和像方分别缩放，不能直接测量图上的角度。该模型不模拟衍射、像差、镜头结构细节和曝光亮度；失焦预览采用高斯模糊近似。

先分清这些距离

参数	在模型中的含义	调节时发生什么
物体位置 $L$	物体到固定传感器的距离	只移动物体
镜片间距 $d$	透镜到传感器的距离	移动镜片进行对焦
物距 $u=L-d$	物体到透镜的距离	由前两个量推导
焦距 $f$	凸透镜的光学属性	改变折射能力，相当于换透镜
实际像距 $v$	透镜到光线汇聚平面的距离	由焦距和物距决定
孔半径 $r$	遮光板中央透光孔的半径	改变光束宽度
容许弥散圆 $c$	可接受的光斑直径上限	改变清晰判断的标准

注意：镜片间距不是对焦距离。 这里的物方对焦距离指能精确合焦的物体到透镜的距离；真实相机标注的对焦距离通常从传感器平面量起。

三个操作实验

1. 移动物体，再重新对焦

1. 点击“恢复清晰示例”。
2. 只改变物体位置，观察紫色成像平面离开传感器平面。
3. 点击“移动镜片合焦”。机身和物体不动，镜片移动，使成像面重新落在传感器上。

2. 改焦距与移动镜片的区别

先关闭自动重新合焦，只调焦距。观察理想成像面的大小与失焦光斑，再点击“移动镜片合焦”。

也可以直接比较“35 mm 并重新合焦”与“85 mm 并重新合焦”：长焦重新合焦后，通常取景范围更窄，主体更大。用 1× 整幅 观察视野，用 16× 局部 检查模糊细节；显示倍率不改变光学参数。

3. 缩小孔径是否等于重新对焦？

让物体位于景深外，再缩小透光孔。实际成像平面不变，但传感器上的光斑变小，可能达到可接受清晰。

缩小孔径没有让成像平面与传感器重合。 模型也未计入小光圈衍射，因此不能据此认为真实镜头的孔径越小越好。

数学模型与推导

以下采用薄透镜、近轴近似，所有长度统一以 mm 计算。忽略衍射、像差和曝光亮度变化；公式中的光斑是几何光斑。

1. 坐标和光圈

传感器固定，物体到传感器的距离为 $L$，镜片到传感器的距离为 $d$。因此物距为：

$$u=L-d.$$

设透光孔半径为 $r$，则孔径直径 $D$ 与光圈值 $N$ 为：

$$D=2r,N=\frac{f}{D}=\frac{f}{2r}.$$

本组件直接控制 $r$。因此改变焦距时，孔径保持不变，推导出的 F 数随之改变。

2. 从光线斜率推导薄透镜公式

设物点高度为 $h$，光线穿过透镜时的高度为 $a$。近轴条件下，可以用斜率近似光线角度。入射斜率为 $(a-h)/u$；薄透镜使斜率减少 $a/f$：

$${\theta }_{\mathrm{out}}=\frac{a-h}{u}-\frac{a}{f}.$$

光线经过透镜后传播距离 $z$，高度为：

$$\begin{array}{rl}y(z)& =a+z{\theta }_{\mathrm{out}}\\ & =a(1+\frac{z}{u}-\frac{z}{f})-\frac{zh}{u}.\end{array}$$

同一物点发出的各条光线，在实际像距 $z=v$ 处汇聚。因此 $y(v)$ 必须与孔径位置 $a$ 无关，即 $a$ 的系数为零：

$$1+\frac{v}{u}-\frac{v}{f}=0.$$

整理得到：

$$\boxed{{\displaystyle \frac{1}{f}=\frac{1}{u}+\frac{1}{v}}},\boxed{{\displaystyle v=\frac{fu}{u-f}}}.$$

这里 $v$ 是实际成像平面到透镜的距离；$d$ 是固定传感器到透镜的距离。精确合焦要求 $v=d$。

3. 从孔径边缘推导失焦光斑

在传感器处令 $z=d$，并利用薄透镜公式：

$$y(d)=a(1-\frac{d}{v})-\frac{dh}{u}.$$

孔径两侧边缘对应 $a=+r$ 与 $a=-r$。两条光线在传感器上的距离为：

$$\begin{array}{rl}b& =|y(d){|}_{a=+r}-y(d){|}_{a=-r}|\\ & =\boxed{{\displaystyle 2r|1-\frac{d}{v}|}}.\end{array}$$

• $v=d$：几何光斑直径为零，精确合焦。
• $v<d$：光线先汇聚，再散开到传感器上。
• $v>d$：光线到传感器时还未汇聚。

给定容许弥散圆直径 $c$，可接受清晰的条件为：

$$\boxed{{\displaystyle b\le c}}.$$

失焦程度连续变化；景深边界是清晰标准划出的边界，并不表示过界后会突然完全模糊。

4. 变焦、对焦与取景大小

理想成像面上 $y(v)=-vh/u$，所以放大率为：

$$m_{\mathrm{ideal}}=\frac{y(v)}{h}=-\frac{v}{u}=-\frac{f}{u-f}.$$

穿过透镜中心的主光线对应 $a=0$。它在传感器上的位置为 $y(d)=-dh/u$，因此光斑中心位置的比例为：

$$m_{\mathrm{sensor}}=-\frac{d}{u}=-\frac{d}{L-d}.$$

负号表示倒像。失焦时，后一个量描述光斑中心的分布，并不代表传感器上存在清晰的像。

固定物体位置 $L$ 和镜片位置 $d$，只改变焦距 $f$，不会改变 $m_{\mathrm{sensor}}$，但会改变实际像距 $v$、理想放大率和失焦光斑。

移动镜片则会同时改变 $d$ 和 $u=L-d$，所以对焦过程也可能伴随主体大小变化。

若传感器宽度为 $W$，当前物距处的主光线取景宽度和水平视角为：

$$W_{\mathrm{object}}=\frac{Wu}{d},\alpha =2\arctan \left(\frac{W}{2d}\right).$$

这里取景宽度按主光线位置定义，忽略了离焦光斑跨越画幅边缘的影响。

5. 自动对焦如何求镜片位置

物体和传感器都固定时，$L$ 保持不变。精确合焦需要同时满足 $u=L-d$ 和 $v=d$：

$$\frac{1}{f}=\frac{1}{L-d}+\frac{1}{d}.$$

整理得到二次方程：

$$d^2-Ld+fL=0.$$

组件采用普通摄影对应的较小根：

$$\boxed{{\displaystyle d_{\mathrm{focus}}=\frac{L-\sqrt{L^2-4fL}}{2}}}.$$

计算时可使用等价形式，减少相近数相减造成的精度损失：

$$d_{\mathrm{focus}}=\frac{2fL}{L+\sqrt{L^2-4fL}}.$$

要求 $L\ge 4f$ 才有实数解；若解超出镜片可移动行程，组件会提示无法到达。另一个根对应另一组物像共轭位置。

6. 由清晰阈值推导前后景深

用 $U$ 表示任意待考察物距，与当前物体的 $u$ 区分。定义：

$$q=\frac{1}{f}-\frac{1}{d},t=\frac{c}{2rd}.$$

把薄透镜公式代入光斑公式：

$$\begin{array}{rl}b& =2r|1-d(\frac{1}{f}-\frac{1}{U})|\\ & =2rd|\frac{1}{U}-q|.\end{array}$$

由 $b\le c$ 得到：

$$\boxed{{\displaystyle q-t\le \frac{1}{U}\le q+t}}.$$

近界为：

$$U_{\mathrm{near}}=\frac{1}{q+t}(q+t>0).$$

在存在清晰区间的前提下，远界为：

$$U_{\mathrm{far}}=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{1}{q-t}},& q-t>0,\\ \mathrm{\infty },& q-t\le 0.\end{array}$$

当 $q>0$ 时，精确合焦物距为：

$$s=\frac{1}{q}=\frac{fd}{d-f}.$$

前、后景深分别为：

$$\boxed{{\displaystyle {\mathrm{DOF}}_{\mathrm{front}}=s-U_{\mathrm{near}}}},\boxed{{\displaystyle {\mathrm{DOF}}_{\mathrm{rear}}=U_{\mathrm{far}}-s}}.$$

边界情况：

• $q+t\le 0$：没有有限物距满足清晰条件。
• $q+t>0$ 且 $q-t\le 0$：远界为无穷远。
• $q\le 0$：没有有限的精确合焦物距，不能围绕有限合焦位置划分前后景深；但可能仍有一段满足阈值的远处清晰区间。

上述 $U$ 和 $s$ 从透镜量起。组件中的景深卡片从传感器量起，所以边界分别加上 $d$；前后景深的长度不变。

7. 为什么缩小预览后看不出失焦

若预览宽度为 $P$ 像素，传感器宽度为 $W$，光斑在预览中的直径约为：

$$b_{\mathrm{preview}}=b\frac{P}{W}.$$

即使 $b>c$，当 $b_{\mathrm{preview}}$ 小于一个像素时，整幅预览也可能看起来清晰。局部放大倍率为 $k$ 时，光斑显示直径变为 $kbP/W$；这不会改变任何光学参数。

预览使用高斯模糊近似离焦，取：

$$\sigma =\frac{b}{4},{\sigma }_{\mathrm{preview}}=\frac{b}{4}\frac{P}{W}k.$$

这是本组件的显示近似，并不是精确的离焦点扩散函数。判断当前是否达到设定的清晰标准，应以组件显示的 $b$ 与 $c$ 的比较结果为准。